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USER // 提问内容
请详细证明：对任意正整数 n，存在连续 n 个正合数。
DEEPSEEK-R1 // 推理输出
【思维链】展开思考过程 (3.2s 推演)
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1. 审题：目标是构造一段长度为 n 的连续整数序列，满足其中每一个整数都是合数。
2. 联想阶乘的整除性质：考虑 (n+1)! 的因子结构。
3. 对任意 2 ≤ k ≤ n+1，明显有 k 能够整除 (n+1)!，因此 k 也必然整除 (n+1)! + k。
4. 验证大小：因为 (n+1)! + k > k 且 k > 1，所以 (n+1)! + k 具有大于 1 且小于自身的因数 k，故必定是合数。
5. 检查项数：从 k = 2 到 k = n+1 共包含 (n+1) - 2 + 1 = n 个连续整数，完全符合题意。
2. 联想阶乘的整除性质：考虑 (n+1)! 的因子结构。
3. 对任意 2 ≤ k ≤ n+1，明显有 k 能够整除 (n+1)!，因此 k 也必然整除 (n+1)! + k。
4. 验证大小：因为 (n+1)! + k > k 且 k > 1，所以 (n+1)! + k 具有大于 1 且小于自身的因数 k，故必定是合数。
5. 检查项数：从 k = 2 到 k = n+1 共包含 (n+1) - 2 + 1 = n 个连续整数，完全符合题意。
【定理证明】
对任意给定的正整数 \( n \)，构造如下 \( n \) 个连续正整数：
1. 显然 \( 2 \le k \le n + 1 \)，由阶乘定义可知，\( k \) 必整除 \( (n + 1)! \)；
2. 因此，\( k \) 亦整除 \( (n + 1)! + k \)；
3. 同时由于 \( (n + 1)! + k > k > 1 \)，说明该数拥有不等于 1 和自身的因数 \( k \)，故必为合数。
综上所述，从 \( (n + 1)! + 2 \) 到 \( (n + 1)! + (n + 1) \) 即为连续 \( n \) 个正合数。证明完毕。
对任意给定的正整数 \( n \)，构造如下 \( n \) 个连续正整数：
(n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, ..., (n + 1)! + (n + 1)
对于该序列中第 \( k - 1 \) 项整数 \( (n + 1)! + k \)（其中 \( 2 \le k \le n + 1 \)）：1. 显然 \( 2 \le k \le n + 1 \)，由阶乘定义可知，\( k \) 必整除 \( (n + 1)! \)；
2. 因此，\( k \) 亦整除 \( (n + 1)! + k \)；
3. 同时由于 \( (n + 1)! + k > k > 1 \)，说明该数拥有不等于 1 和自身的因数 \( k \)，故必为合数。
综上所述，从 \( (n + 1)! + 2 \) 到 \( (n + 1)! + (n + 1) \) 即为连续 \( n \) 个正合数。证明完毕。